La Subiectul III de la Bacalaureat, unul dintre cele mai frecvente tipuri de cerințe este calculul ariei unei suprafețe plane folosind integrala definită. Explicăm metoda pas cu pas, pe baza exercițiilor din materialele de la Bacalaureat.
Formula de bază
Dacă $f$ este o funcție continuă și pozitivă pe $[a, b]$, aria suprafeței delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele verticale $x = a$, $x = b$ este:
$$\mathcal{A} = \int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$$unde $F$ este o primitivă a funcției $f$.
Dacă funcția este negativă pe interval, aria este $\left|\int_a^b f(x)\,dx\right|$, iar dacă funcția își schimbă semnul, integrala se împarte pe subintervale.
Structura tipică a exercițiului (3 cerințe)
Aproape toate exercițiile de la Subiectul III urmează același model:
- a) Se calculează $f'(x)$ sau $F(x)$ pentru o funcție dată (verificare de derivare).
- b) Se arată că o funcție $F$ este primitivă a lui $f$, adică $F'(x) = f(x)$.
- c) Se calculează aria suprafeței delimitate de grafic, axa $Ox$ și două drepte, folosind chiar primitiva $F$ găsită la punctul b).
Exercițiu rezolvat 1
Se consideră funcția $f:[1,e] \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{1}{x}$.
a) Calculați $f'(x)$.
$$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$$b) Arătați că funcția $F(x) = \ln x$ este o primitivă a funcției $f$.
$$F'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x} = f(x) \quad ✓$$c) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele $x=1$, $x=e$.
$$\mathcal{A} = \int_1^e \frac{1}{x}\,dx = F(e) - F(1) = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$$Aria este $\mathcal{A} = 1$.
Exercițiu rezolvat 2 (cu determinarea unui parametru)
Se consideră funcția $f(x) = e^x$, $x \in \mathbb{R}$. Determinați numărul real $a > 0$ pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele $x=0$ și $x=a$ este egală cu $e - 1$.
O primitivă a lui $f$ este $F(x) = e^x$ (pentru că $F'(x) = e^x = f(x)$).
$$\mathcal{A} = \int_0^a e^x\,dx = F(a) - F(0) = e^a - 1$$Punem condiția din enunț:
$$e^a - 1 = e - 1 \implies e^a = e \implies a = 1$$Volumul corpului obținut prin rotație
O cerință înrudită, tot la Subiectul III, este volumul corpului de rotație în jurul axei $Ox$:
$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\, dx$$Exemplu. Pentru $f(x) = \sqrt{x}$ pe $[0,1]$:
$$V = \pi \int_0^1 x\,dx = \pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}$$Greșeli frecvente
- A confunda primitiva cu derivata la punctul b) — se verifică mereu prin derivare, nu prin integrare.
- A ignora semnul funcției — dacă $f(x) < 0$ pe o parte a intervalului, aria nu este simpla integrală, ci modulul ei (sau se împarte intervalul).
- A uita constanta de integrare atunci când se cere „determinați primitiva $F$ pentru care $F(x_0) = y_0$" — se scrie $F(x) = ... + C$ și se determină $C$ din condiția dată.
Exersează mai mult
Pe pagina de Bacalaureat găsești sute de variante rezolvate cu Subiectul III (primitive, integrale, arii, volume), inclusiv rezolvări interactive pas cu pas. Pentru orice exercițiu neclar, Profesorul Virtual explică soluția oricând ai nevoie.