Formulele de calcul prescurtat (numite și identități remarcabile) sunt printre cele mai folosite unelte algebrice din gimnaziu — apar la clasa a 8-a, dar rămân esențiale la Evaluarea Națională și mai departe, la liceu. Ideea e simplă: în loc să înmulțim desfășurat două paranteze, recunoaștem un „tipar" și scriem direct rezultatul.
Cele 3 formule de bază
| Formulă | Nume |
|---|---|
| $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ | Pătratul sumei |
| $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ | Pătratul diferenței |
| $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ | Diferența de pătrate |
Toate trei se demonstrează prin înmulțirea directă a parantezelor (metoda distributivității), dar scopul lor e să ne scutească de acest calcul repetitiv.
1. Pătratul sumei: $(a+b)^2$
Regula de reținut: pătratul primului, plus dublul produsului, plus pătratul celui de-al doilea.
Exemplu: calculăm $(x+2)^2$.
$$(x+2)^2 = x^2 + 2\cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$$Exemplu cu coeficienți: $(2x+3)^2$
$$(2x+3)^2 = (2x)^2 + 2\cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$$Atenție la greșeala frecventă: $(2x+3)^2 \neq 4x^2 + 9$ — elevii uită termenul dublu produs $2ab$. Acesta e motivul principal de pierdere de puncte la EN.
2. Pătratul diferenței: $(a-b)^2$
Aceeași structură, dar cu semnul minus la termenul din mijloc:
$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$Exemplu: $(x-3)^2 = x^2 - 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$
Exemplu cu doi termeni literali: $(a-3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^2$
3. Diferența de pătrate: $(a+b)(a-b)$
Aceasta e cea mai „vizuală" — produsul dintre sumă și diferență dă exact diferența pătratelor:
$$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$Exemplu: $(x+5)(x-5) = x^2 - 25$
Exemplu: $(3a+4b)(3a-4b) = 9a^2 - 16b^2$
Se folosește constant și invers, la descompuneri în factori: dacă vezi $x^2 - 49$, recunoști imediat $(x-7)(x+7)$.
Exemplu complex (tipic la EN și teze)
Un exercițiu clasic combină toate formulele într-o singură expresie, cu scopul de a simplifica până la un rezultat final simplu:
$$(x+5)^2 - (2x-1)(2x+1) + 3(x-4)^2$$Rezolvare pas cu pas:
- $(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25$
- $(2x-1)(2x+1) = 4x^2 - 1$
- $3(x-4)^2 = 3(x^2 - 8x + 16) = 3x^2 - 24x + 48$
Adunăm/scădem termen cu termen:
$$x^2 + 10x + 25 - (4x^2 - 1) + 3x^2 - 24x + 48$$ $$= x^2 + 10x + 25 - 4x^2 + 1 + 3x^2 - 24x + 48$$ $$= (x^2 - 4x^2 + 3x^2) + (10x - 24x) + (25+1+48)$$ $$= 0\cdot x^2 - 14x + 74 = -14x + 74$$Observă un lucru important: termenii de gradul 2 s-au anulat — este foarte frecvent în exercițiile din culegeri, pentru că testul verifică dacă elevul aplică formulele corect (dacă rămâi cu $x^2$ în rezultat final, verifică din nou calculul).
Greșeli frecvente de evitat
- $(a+b)^2 \neq a^2+b^2$ — lipsește termenul $2ab$.
- Semnul la $(a-b)^2$: termenul din mijloc e negativ, dar $b^2$ rămâne pozitiv.
- La scăderea unei paranteze precedate de minus (ex. $-(4x^2-1)$), nu uita să schimbi semnul tuturor termenilor din paranteză.
Unde te ajută mai departe
Formulele de calcul prescurtat sunt baza pentru:
- descompunerea în factori (fișele de descompuneri de la clasa a 8-a — factor comun, formule, grupare de termeni),
- simplificarea rapoartelor algebrice (amplificări/simplificări),
- rezolvarea ecuațiilor de gradul II cu metoda formei canonice.
Exersează
Pentru exerciții progresive (de la aplicare directă a formulei, până la exerciții complexe cu 3-4 paranteze combinate, exact ca modelul de mai sus), găsești fișa completă cu variante pe pagina de clasa a 8-a, la secțiunea Algebră. Dacă vrei sprijin în timp real pe un exercițiu care nu-ți iese, poți întreba și Profesorul Virtual AI.
Pentru pregătire completă de Evaluare Națională, unde aceste formule apar aproape sigur la Subiectul I sau II, vezi pagina de Evaluare Națională.