La Bacalaureat, Subiectul III de la profilul real (mate-info, științe ale naturii) testează aproape mereu același trio de noțiuni: derivate, ecuația tangentei și asimptote. Vestea bună: sunt tehnici, nu chin — dacă știi formulele și pașii, punctajul e sigur.
1. Formulele de derivare de bază
Trebuie știute pe de rost, fără hesitare:
| Funcție $f(x)$ | Derivata $f'(x)$ |
|---|---|
| $c$ (constantă) | $0$ |
| $x^n$ | $n \cdot x^{n-1}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ |
Reguli de derivare pentru funcții compuse (produs, cât):
$$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$$ $$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$$Exemplu rezolvat (derivată de produs)
Fie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = xe^x$. Arătăm că $f'(x) = (x+1)e^x$.
Aplicăm regula produsului cu $u = x$, $v = e^x$:
$$f'(x) = u'v + uv' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (x+1)e^x \checkmark$$Exemplu rezolvat (derivată de cât)
Fie $f(x) = \dfrac{x-1}{x-2}$, pe $(2, +\infty)$. Arătăm că $f'(x) = -\dfrac{1}{(x-2)^2}$.
$$f'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - (x-1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{x - 2 - x + 1}{(x-2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2} \checkmark$$Acest tip de exercițiu (verifică/arată că $f'(x) = ...$) e exact punctul a) de la Subiectul III — practic trebuie doar să aplici corect regula și să simplifici.
2. Ecuația tangentei la grafic
Tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0$ are ecuația:
$$y - f(x_0) = f'(x_0) \cdot (x - x_0)$$Exemplu rezolvat
Fie $f(x) = 2x^3 - 6x + 1$. Determinăm ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0 = 1$.
Pasul 1 — calculăm $f(1)$: $f(1) = 2 - 6 + 1 = -3$.
Pasul 2 — calculăm derivata: $f'(x) = 6x^2 - 6$, deci $f'(1) = 6 - 6 = 0$.
Pasul 3 — scriem ecuația tangentei:
$$y - (-3) = 0 \cdot (x - 1) \Rightarrow y = -3$$Tangenta este dreapta orizontală $y = -3$ (asta se întâmplă când $x_0$ e punct de extrem al funcției).
3. Asimptote
Asimptota orizontală
Funcția $f$ are asimptotă orizontală spre $+\infty$ (sau $-\infty$) dacă limita $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = L$ este finită. Ecuația asimptotei este $y = L$.
Exemplu rezolvat
Fie $f(x) = \dfrac{x-1}{x^2+3}$. Calculăm:
$$\lim_{x\to+\infty} \frac{x-1}{x^2+3} = \lim_{x\to+\infty} \frac{x^2(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2})}{x^2(1+\frac{3}{x^2})} = 0$$Deci $y = 0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ (și spre $-\infty$, din simetrie).
Asimptota oblică
Există dacă $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} = m$ este finită și nenulă, iar apoi $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x) - mx\big) = n$ este finită. Ecuația este $y = mx + n$.
Pentru $f(x) = x - \dfrac{1}{x}$, pe $(0,+\infty)$:
$$m = \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}\left(1 - \frac{1}{x^2}\right) = 1$$ $$n = \lim_{x\to+\infty}\big(f(x) - x\big) = \lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{1}{x}\right) = 0$$Asimptota oblică este $y = x$.
4. Monotonie și puncte de extrem (punctul c)
Semnul derivatei $f'(x)$ dă monotonia:
- $f'(x) > 0$ pe un interval ⟹ $f$ este crescătoare pe acel interval;
- $f'(x) < 0$ ⟹ $f$ este descrescătoare;
- punctele unde $f'(x) = 0$ și schimbă semn sunt puncte de extrem local.
Exemplu
Pentru $f(x) = x^3 - 3x + 1$, avem $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$.
Tabelul de semn arată: $f' > 0$ pe $(-\infty,-1)$, $f' < 0$ pe $(-1,1)$, $f' > 0$ pe $(1,+\infty)$. Deci $x=-1$ este punct de maxim local, $x=1$ este punct de minim local.
De ce contează pentru Bacalaureat
Subiectul III (analiză matematică) valorează de regulă 15 puncte la profilul real, împărțit exact pe cele trei subpuncte de mai sus: a) calcul de derivată, b) tangentă/asimptotă/limită, c) monotonie/convexitate/extreme. Stăpânind formulele de mai sus, primele două subpuncte devin aplicare mecanică — punctajul „ușor" de luat înainte de partea de raționament de la c).
Exersează
Pe ExamenMate găsești seturi complete de exerciții de acest tip, organizate exact pe cele trei subpuncte (a, b, c), plus rezolvări interactive pas cu pas pentru variante reale de Bacalaureat, la /clase/11 și în secțiunea /bacalaureat. Dacă te blochezi la un exercițiu, Profesorul Virtual AI (/profesor-virtual) îți explică exact pasul unde ai greșit, oricând.