Trigonometria de clasa a 9-a se construiește pe câteva formule fundamentale, care apoi se combină în identități mai complexe. Le trecem pe rând, cu exemple rezolvate, pe baza fișelor de la clasa a 9-a.
1. Relația fundamentală a trigonometriei
Pentru orice unghi (sau număr real) $x$:
$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$Din ea se pot deduce oricare dintre $\sin x$ sau $\cos x$, dacă știm celălalt și cadranul (sau faptul că unghiul este ascuțit, caz în care ambele sunt pozitive).
2. Tangenta și cotangenta
$$tg\, x = \frac{\sin x}{\cos x} \quad (\cos x \neq 0) \qquad ctg\, x = \frac{\cos x}{\sin x} \quad (\sin x \neq 0)$$De aici rezultă și: $tg\, x \cdot ctg\, x = 1$.
3. Formule derivate din relația fundamentală
$$1 + tg^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \qquad 1 + ctg^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$$4. Formule reduse (unghiuri complementare și suplementare)
| Unghi | $\sin$ | $\cos$ | $tg$ |
|---|---|---|---|
| $90° - x$ | $\cos x$ | $\sin x$ | $ctg\,x$ |
| $180° - x$ | $\sin x$ | $-\cos x$ | $-tg\,x$ |
| $180° + x$ | $-\sin x$ | $-\cos x$ | $tg\,x$ |
| $-x$ | $-\sin x$ | $\cos x$ | $-tg\,x$ |
Exercițiu rezolvat 1
Calculați $\cos x$, știind că $\sin x = \dfrac{3}{5}$ și unghiul $x$ este ascuțit.
Din relația fundamentală: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$.
Cum $x$ este ascuțit, $\cos x > 0$, deci:
$$\cos x = \frac{4}{5}$$Exercițiu rezolvat 2
Arătați că $tg\,x \cdot \cos x = \sin x$, pentru orice $x$ cu $\cos x \neq 0$.
$$tg\,x \cdot \cos x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = \sin x \quad ✓$$Exercițiu rezolvat 3 (identitate mai complexă)
Arătați că $(\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2 = 2$, pentru orice număr real $x$.
Dezvoltăm ambele pătrate:
$$(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x$$ $$(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x$$Adunăm:
$$= 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = 2 \cdot 1 = 2 \quad ✓$$Exercițiu rezolvat 4
Calculați $tg\,x$, știind că $\cos x = \dfrac{1}{3}$ și $x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$.
$$\sin^2 x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \implies \sin x = \frac{2\sqrt{2}}{3} \text{ (pozitiv, unghi ascuțit)}$$ $$tg\,x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2\sqrt{2}/3}{1/3} = 2\sqrt{2}$$De ce contează pentru Bacalaureat
Aceste formule sunt baza pentru trigonometria din liceele cu profil real și reapar la Bacalaureat în funcțiile trigonometrice, ecuații trigonometrice și în geometrie (legea sinusurilor, legea cosinusului). Cine le stăpânește din clasa a 9-a evită blocajele de mai târziu.
Exersează mai mult
Pe pagina clasei a 9-a găsești fișe complete cu exerciții de trigonometrie (peste 100 de exerciții rezolvate pas cu pas) și teste interactive. Pentru orice exercițiu la care te blochezi, Profesorul Virtual explică soluția pas cu pas, oricând.