Liniile importante în triunghi — mediană, mediatoare, bisectoare, înălțime

Geometria triunghiului din clasa a 6-a se bazează pe patru linii importante, fiecare cu propriul punct de intersecție special. Le explicăm pe rând, cu proprietăți și exerciții rezolvate, folosind materialele de la clasa a 6-a.

1. Mediana

Mediana dintr-un vârf al triunghiului este segmentul care unește vârful cu mijlocul laturii opuse.

• Orice triunghi are exact 3 mediane.
• Cele trei mediane se intersectează într-un singur punct, numit centrul de greutate (notat de obicei $G$).
• Proprietate esențială: centrul de greutate împarte fiecare mediană în raport $2:1$, socotind de la vârf: $AG = \dfrac{2}{3}AM$, unde $M$ este mijlocul laturii $BC$.

2. Mediatoarea

Mediatoarea unei laturi este perpendiculara ridicată în mijlocul acelei laturi.

• Orice punct de pe mediatoare este egal distanțat de cele două capete ale segmentului.
• Cele trei mediatoare ale unui triunghi se intersectează într-un punct numit centrul cercului circumscris — punct egal distanțat de toate cele trei vârfuri, deci centrul cercului care trece prin $A$, $B$, $C$.

3. Bisectoarea

Bisectoarea unui unghi al triunghiului este semidreapta care împarte unghiul în două unghiuri congruente.

• Cele trei bisectoare se intersectează într-un punct numit centrul cercului inscris — egal distanțat de cele trei laturi (nu de vârfuri!), deci centrul cercului tangent la toate cele trei laturi.
• La un triunghi isoscel, bisectoarea unghiului de la vârf este și mediană, și mediatoare, și înălțime pe aceeași linie.

4. Înălțimea

Înălțimea dintr-un vârf este perpendiculara dusă din acel vârf pe latura opusă (sau pe prelungirea ei).

• Punctul în care înălțimea „cade" pe latură se numește piciorul înălțimii.
• Cele trei înălțimi se intersectează într-un punct numit ortocentrul triunghiului, notat de obicei $H$.
• Poziția ortocentrului depinde de tipul triunghiului:
  • triunghi ascuțitunghic → ortocentrul e în interior;
  • triunghi dreptunghic → ortocentrul coincide cu vârful unghiului drept;
  • triunghi obtuzunghic → ortocentrul e în exteriorul triunghiului.

Exercițiu rezolvat 1 (triunghi ascuțitunghic)

$AD$ este înălțime a triunghiului ascuțitunghic $ABC$, cu $D \in BC$. Se cunoaște $m(\angle B) = 52°$ și $m(\angle C) = 48°$. Aflați $m(\angle BAD)$ și $m(\angle CAD)$.

Rezolvare. În triunghiul $ABD$, unghiul $\angle ADB$ este drept (pentru că $AD$ este înălțime), deci:

Analog, în triunghiul $ADC$:

Verificare: $m(\angle BAD) + m(\angle CAD) = 38° + 42° = 80° = m(\angle A)$, unde $m(\angle A) = 180° - 52° - 48° = 80°$. ✓

Exercițiu rezolvat 2 (triunghi obtuzunghic)

$AD$ este înălțimea din $A$ a triunghiului obtuzunghic $ABC$ ($D$ este piciorul perpendicularei din $A$ pe dreapta $BC$, în afara segmentului). Se cunoaște $m(\angle ABC) = 115°$ și $m(\angle C) = 28°$. Aflați $m(\angle ABD)$, $m(\angle BAD)$ și $m(\angle CAD)$.

Rezolvare. Cum $\angle ABC = 115°$ este obtuz, punctul $D$ cade în afara segmentului $BC$, dincolo de $B$. Unghiul $\angle ABD$ este suplementul lui $\angle ABC$:

În triunghiul dreptunghic $ABD$ (unghi drept în $D$):

Unghiul $\angle CAD$ se obține din triunghiul dreptunghic $ACD$: unghiul $A$ al triunghiului $ABC$ este $180° - 115° - 28° = 37°$, iar

De fapt, din triunghiul $ACD$ (drept în $D$): $m(\angle CAD) = 90° - 28° = 62°$, și se verifică $m(\angle BAD) = m(\angle CAD) - m(\angle A) = 62° - 37° = 25°$. ✓

Tabel recapitulativ

Exersează mai mult

Pentru fișe complete de exerciții cu triunghiuri ascuțitunghice, dreptunghice și obtuzunghice, ai pe pagina clasei a 6-a fișe interactive și PDF dedicate fiecărei linii importante, plus Profesorul Virtual care explică pas cu pas orice exercițiu la care te blochezi.