De ce sunt importante procentele la Evaluarea Națională
Procentele apar aproape în fiecare an la Subiectul I al Evaluării Naționale la matematică, de obicei ca exercițiu de calcul direct (câte lei/kg reprezintă un procent dintr-un întreg) sau ca problemă cu reduceri/scumpiri de preț. Sunt puncte "sigure" dacă stăpânești formula de bază și tipurile de exerciții.
Formula de bază
Pentru a calcula p% dintr-un număr N, folosim:
$$ p\% \cdot N = \frac{p}{100} \cdot N $$Exemplu: 15% din 200 = $\frac{15}{100} \cdot 200 = 30$.
Alt exemplu, cu fracție uzuală: 10% din 1000 = $\frac{10}{100} \cdot 1000 = 100$.
Aflarea întregului când știm procentul
Dacă p% dintr-un număr necunoscut $N$ este egal cu un număr dat $M$, atunci:
$$ N = \frac{M \cdot 100}{p} $$Exemplu: Dacă 20% dintr-un număr este 20, atunci numărul este $\dfrac{20 \cdot 100}{20} = 100$.
Exemplu (tip EN): Dacă 10 reprezintă $p\%$ dintr-un număr, întrebarea cere de obicei fie procentul, fie numărul — se rezolvă din aceeași formulă, izolând necunoscuta cerută.
Reduceri de preț (ieftiniri)
Când un preț $P$ se reduce cu $p\%$, noul preț este:
$$ P_{nou} = P - \frac{p}{100}\cdot P = P\left(1 - \frac{p}{100}\right) $$Exemplu rezolvat: O tabletă costă 360 de lei. După o reducere de 30%, prețul va fi:
$$ 360 \cdot \left(1 - \frac{30}{100}\right) = 360 \cdot 0{,}7 = 252 \text{ lei} $$Exemplu invers (aflare preț inițial): După o reducere cu 15%, un penar costă 34 de lei. Prețul inițial $P$ satisface $P \cdot 0{,}85 = 34$, deci $P = \dfrac{34}{0{,}85} = 40$ lei.
Scumpiri de preț (măriri)
Când un preț $P$ se scumpește cu $p\%$, noul preț este:
$$ P_{nou} = P\left(1 + \frac{p}{100}\right) $$Exemplu: Un telefon costă 1200 lei. Se scumpește cu 15%:
$$ 1200 \cdot 1{,}15 = 1380 \text{ lei} $$Capcana clasică: scumpire + ieftinire NU se anulează
Un tip de exercițiu frecvent la Evaluarea Națională: prețul unui produs se mărește cu $p\%$, apoi se micșorează cu același $p\%$. Rezultatul nu este prețul inițial!
Exemplu rezolvat: Prețul unui televizor s-a mărit cu 10%, apoi noul preț s-a micșorat cu 10%. Prețul final este 1980 lei. Care a fost prețul inițial?
Notăm prețul inițial $P$. După scumpire: $P \cdot 1{,}1$. După ieftinire: $P \cdot 1{,}1 \cdot 0{,}9 = P \cdot 0{,}99$.
Deci $P \cdot 0{,}99 = 1980 \Rightarrow P = \dfrac{1980}{0{,}99} = 2000$ lei.
Observă că cele două operații combinate dau un factor de $0{,}99$, nu $1$ — prețul final e mai mic decât cel inițial cu 1%. Această capcană (procentul se aplică de fiecare dată la valoarea curentă, nu la cea inițială) e testată constant.
Procente în tabele și situații statistice
La EN apar frecvent probleme cu date în tabel, unde trebuie identificat ce categorie reprezintă un anumit procent din total, sau invers, aflat procentul unei categorii.
Exemplu: Într-un depozit sunt 2700 kg de fructe: mere 900 kg, pere 500 kg, gutui 490 kg, struguri 810 kg. Care categorie reprezintă 30% din total?
$30\%$ din $2700 = \dfrac{30}{100} \cdot 2700 = 810$ kg → categoria este strugurii.
Exemplu cu procent necunoscut: Dacă în tabel avem categoriile albastru 25%, roșu 35%, galben 14%, verde $x\%$, altele 20%, dintr-un total de 400 elevi, iar suma procentelor trebuie să fie 100%:
$$ x = 100 - 25 - 35 - 14 - 20 = 6\% $$Numărul elevilor care au ales verde: $6\% \cdot 400 = 24$.
Pași recomandați pentru orice exercițiu cu procente
- Identifică ce reprezintă necunoscuta: procentul, partea sau întregul.
- Scrie relația $p\% \cdot N = M$ și înlocuiește ce cunoști.
- La reduceri/scumpiri succesive, calculează pas cu pas, nu aduna/scade procentele direct.
- Verifică rezultatul înlocuind înapoi în enunț.
Exersează
Găsești un set complet de 30 de exerciții tip Evaluare Națională cu procente (calcul direct, reduceri, scumpiri, tabele) în materialul Subiectul I, Ex. 2: Procente, disponibil gratuit pe platformă. Pentru mai multe exerciții similare rezolvate interactiv, cu explicații pas cu pas de la Profesorul Virtual AI, vezi pagina de Evaluare Națională sau profesor-virtual pentru întrebări punctuale.
Dacă vrei să exersezi și alte capitole frecvente la Subiectul I, vezi și articolul despre suma lui Gauss și factor comun sau despre formulele de calcul prescurtat.